תוֹכֶן
כשמציגים לך מטריצה בשיעור מתמטיקה או פיזיקה, לרוב תתבקש למצוא את הערכים העצמיים שלה. אם אינך בטוח מה זה אומר או איך לעשות את זה, המשימה מפחידה והיא כרוכה בהרבה טרמינולוגיות מבלבלות שמחריפות את המצב. עם זאת, תהליך חישוב ערכי העצמאות אינו מאתגר מדי אם אתה מרגיש בנוח עם פיתרון משוואות ריבועיות (או פולינומיות), בתנאי שתלמד את היסודות של מטריצות, ערכים עצמיים וקטורים עצמיים.
מטריצות, ערכי אigen וקטורים: מה הם מתכוונים
מטריצות הם מערכים של מספרים שבהם A מייצג את שמו של מטריצה גנרית, כמו זו:
( 1 3 )
א = ( 4 2 )
המספרים בכל עמדה משתנים, וייתכן אף שביטויים אלגבריים במקומם. זהו מטריצה של 2 × 2, אך הם מגיעים במגוון גדלים ולא תמיד יש להם מספר שווה של שורות ועמודות.
ההתמודדות עם מטריצות שונה מההתמודדות עם מספרים רגילים, ויש כללים ספציפיים להכפלה, חלוקה, הוספה וחיסור שלהם זה מזה. המונחים "ערך עצמי" ו- "ווקטור עצמי" משמשים באלגברה של מטריצות כדי להתייחס לשני כמויות אופייניות ביחס למטריצה. בעיית ערך עצמי זה עוזרת לך להבין מה פירוש המונח:
א ∙ v = λ ∙ v
א הוא מטריצה כללית כמו פעם, v הוא וקטור כלשהו, ו- λ הוא ערך אופייני. התבוננו במשוואה ושימו לב שכאשר מכפילים את המטריצה בווקטור v, האפקט הוא לשחזר את אותו וקטור כפול רק בערך λ. זו התנהגות חריגה ומרוויחה את הווקטור v וכמות λ שמות מיוחדים: וקטור העצמי וערך העצמי. אלה הם ערכים אופייניים של המטריצה מכיוון שכפל המטריקס על ידי הוויקטור העצמי משאיר את הווקטור ללא שינוי מכפלה על ידי גורם בערך העצמי.
כיצד לחשב ערכים
אם יש לך בעיית הערך העצמי עבור המטריצה בצורה כלשהי, קל למצוא את ערך הערך העצמי (מכיוון שהתוצאה תהיה וקטור זהה לזה המקורי למעט כפול גורם קבוע - ערך העצמי). התשובה נמצאת על ידי פתרון המשוואה האופיינית למטריצה:
det (א – λאני) = 0
איפה אני היא מטריצת הזהות, שהיא ריקה מלבד סדרה של 1s הפועלת באלכסון במורד המטריצה. "Det" מתייחס לקובע המטריצה, אשר עבור מטריצה כללית:
(א ב)
א = (ג ד)
ניתן ע"י
det א = מודעה –Bc
אז המשוואה האופיינית פירושה:
(a - λ b)
det (א – λאני) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
כדוגמה מטריצה, בואו נגדיר א כפי ש:
( 0 1 )
א = (−2 −3 )
אז זה אומר:
det (א – λאני) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
הפתרונות עבור λ הם הערכים העצמיים, ואתה פותר זאת כמו כל משוואה ריבועית. הפתרונות הם λ = - 1 ו- λ = - 2.
טיפים
מציאת אגן וקטורים
מציאת וקטורים עצמיים היא תהליך דומה. באמצעות המשוואה:
(א – λ) ∙ v = 0
עם כל אחד מערכי העצמי שמצאת בתורם. זה אומר:
(א - λ b) (v1 ) (א - λ) v1 + b v2 (0)
(א – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
אתה יכול לפתור זאת על ידי התחשבות בכל שורה בתורם. אתה רק צריך את היחס של v1 ל v2מכיוון שיהיו אינסוף הרבה פתרונות פוטנציאליים v1 ו v2.