כיצד לפתור מערכת משוואות

תוֹכֶן

• פתרון מערכת משוואות באמצעות החלפה
• טיפים
• פתרון מערכת משוואות באמצעות ביטול
• פתרון מערכת משוואות באמצעות גרף

פיתרון מערכת של משוואות סימולטניות נראה בתחילה כמשימה מפחידה מאוד. עם יותר מכמות לא ידועה אחת למצוא את הערך, וכנראה מעט מאוד דרך להתנתק משתנה אחד מהשני, זה יכול להיות כאב ראש עבור אנשים חדשים באלגברה. עם זאת, ישנן שלוש שיטות שונות למציאת הפיתרון למשוואה, כאשר שתיים תלויות יותר באלגברה והיותן קצת יותר אמינות, והשנייה הופכת את המערכת לסדרת קווים בתרשים.

פתרון מערכת משוואות באמצעות החלפה

לפתור מערכת של משוואות סימולטניות על ידי החלפה על ידי ביטוי תחילה של משתנה אחד במונחים של האחר. שימוש במשוואות אלה כדוגמה:

איקס – y = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

סדר מחדש את המשוואה הפשוטה ביותר לעבוד איתה והשתמש בה כדי להכניס לשניה. במקרה זה, הוספה y לשני צידי המשוואה הראשונה נותן:

איקס = y + 5

השתמש בביטוי עבור איקס במשוואה השנייה לייצר משוואה עם משתנה יחיד. בדוגמה, זה הופך את המשוואה השנייה:

3 × (y + 5) + 2_y_ = 5

3_y_ + 15 + 2_y_ = 5

אסוף את התנאים הדומים כדי לקבל:

5_y_ + 15 = 5

לארגן מחדש ולפתור עבור y, החל בחיסור 15 משני הצדדים:

5_y_ = 5 - 15 = −10

חלוקת שני הצדדים ב -5 מעניקה:

y = −10 ÷ 5 = −2

לכן y = −2.

הכנס תוצאה זו לכל אחת מהמשוואות כדי לפתור עבור המשתנה שנותר. בסוף שלב 1 גיליתם כי:

איקס = y + 5

השתמש בערך שמצאת עבורו y להשיג:

איקס = −2 + 5 = 3

לכן איקס = 3 ו y = −2.

טיפים

פתרון מערכת משוואות באמצעות ביטול

התבונן במשוואות שלך כדי למצוא משתנה להסרה:

איקס – y = 5

3_x_ + 2_y_ = 5

בדוגמה, אתה יכול לראות שלמשוואה אחת יש -y ולשני יש + 2_y_. אם אתה מוסיף פעמיים את המשוואה הראשונה לזו השנייה, את y תנאים יבוטלו y יבוטל. במקרים אחרים (למשל, אם רצית לחסל איקס), אתה יכול גם לחסר מכפיל של משוואה אחת מהשונה.

הכפל את המשוואה הראשונה בשניים כדי להכין אותה לשיטת החיסול:

2 × (איקס – y) = 2 × 5

לכן

2_x_ - 2_y_ = 10

בטל את המשתנה שבחרת על ידי הוספה או חיסור של משוואה אחת מהשנייה. בדוגמה, הוסף את הגרסה החדשה של המשוואה הראשונה למשוואה השנייה כדי לקבל:

3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10

3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15

משמעות הדבר היא:

5_x_ = 15

פתר עבור המשתנה שנותר. בדוגמה, חלקו את שני הצדדים ב -5 כדי לקבל:

איקס = 15 ÷ 5 = 3

כמו קודם.

כמו בגישה הקודמת, כשיש לך משתנה אחד, אתה יכול להכניס את זה לשני הביטויים ולארגן מחדש כדי למצוא את השני. באמצעות המשוואה השנייה:

3_x_ + 2_y_ = 5

אז מאז איקס = 3:

3 × 3 + 2_y_ = 5

9 + 2_y_ = 5

חיסור 9 משני הצדדים כדי להשיג:

2_y_ = 5 - 9 = −4

לבסוף, חלקו על ידי שניים כדי לקבל:

y = −4 ÷ 2 = −2

פתרון מערכת משוואות באמצעות גרף

פתר מערכות של משוואות עם אלגברה מינימלית על ידי תרשים כל משוואה וחפש את איקס ו y ערך במקום בו הקווים מצטלבים. המר כל משוואה לצורת יירוט שיפוע (y = mx + ב) ראשון.

המשוואה לדוגמא הראשונה היא:

איקס – y = 5

ניתן להמיר את זה בקלות. הוסף y לשני הצדדים ואז מחסרים 5 משני הצדדים כדי לקבל:

y = איקס – 5

שיש בו שיפוע של M = 1 ו- א y- יירוט ב = −5.

המשוואה השנייה היא:

3_x_ + 2_y_ = 5

הפח 3_x_ משני הצדדים כדי להשיג:

2_y_ = −3_x_ + 5

ואז חלקו על ידי 2 כדי לקבל את צורת היירוט בשיפוע:

y = −3_x_ / 2 + 5/2

אז יש לזה שיפוע של M = -3/2 וא y- יירוט ב = 5/2.

להשתמש ב y ליירט ערכים ואת המדרונות כדי לשרטט את שני הקווים בתרשים. המשוואה הראשונה חוצה את y ציר ב y = −5, וה- y ערך עולה ב 1 בכל פעם ש - איקס הערך גדל ב- 1. זה הופך את הקו לתיאור קל.

המשוואה השנייה חוצה את y ציר ב 5/2 = 2.5. הוא משופע כלפי מטה, וה- y הערך יורד ב 1.5 בכל פעם ש - איקס הערך גדל ב- 1. אתה יכול לחשב את ה- y ערך לכל נקודה ב- איקס ציר באמצעות המשוואה אם ​​זה קל יותר.

אתר את הנקודה בה הקווים מצטלבים. זה נותן לשניכם איקס ו y קואורדינטות של הפיתרון למערכת המשוואות.