תוֹכֶן
שיעורי השינוי מופיעים בכל המדעים ובעיקר בפיזיקה דרך כמויות כמו מהירות ותאוצה. נגזרים מתארים את קצב השינוי של כמות אחת ביחס לסוג אחר מבחינה מתמטית, אך חישובם יכול להיות מסובך לפעמים, וייתכן שתוצג בפניך גרף ולא פונקציה בצורה משוואת. אם תוצג בפניך גרף של עקומה ותצטרך למצוא את הנגזרת ממנו, ייתכן שלא תוכל להיות מדויק כמו עם משוואה, אך אתה יכול בקלות להעריך הערכה מוצקה.
TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)
בחר נקודה בתרשים כדי למצוא את הערך של הנגזרת ב.
צייר קו ישר למעקום הגרף בנקודה זו.
קח את המדרון של קו זה כדי למצוא את הערך של הנגזרת בנקודה שבחרת בתרשים.
מהי נגזרת?
מחוץ לתפאורה המופשטת של הבחנת משוואה, אתה עלול להיות מעט מבולבל לגבי מהי נגזרת באמת. באלגברה, נגזרת של פונקציה היא משוואה שאומרת לך את ערך ה"שיפוע "של הפונקציה בכל נקודה שהיא. במילים אחרות, זה אומר לך כמה כמות אחת משתנה בהתחשב בשינוי קטן בכמות השנייה. בגרף, שיפוע או שיפוע של הקו אומר לך כמה משתנה התלוי (ממוקם על yמשתנה עם המשתנה הבלתי תלוי (ב- איקס-מיס).
עבור גרפים קו ישר, אתה קובע את קצב השינוי (הקבוע) על ידי חישוב שיפוע הגרף. מערכות יחסים המתוארות על ידי עקומות אינן קלות להתמודד עםן, אך העיקרון לפיו הנגזרת פירושה פשוט המדרון (באותה נקודה ספציפית) עדיין מתקיים.
עבור מערכות יחסים המתוארות על ידי עקומות, הנגזרת לוקחת ערך שונה בכל נקודה לאורך העקומה. כדי להעריך את הנגזרת של הגרף, עליך לבחור נקודה לקחת את הנגזרת ב. לדוגמה, אם יש לך גרף המציג מרחק נסע כנגד הזמן, בתרשים בקו ישר, המדרון יגיד לך את המהירות הקבועה. במהירויות שמשתנות עם הזמן, הגרף יהיה עקומה, אך קו ישר שפשוט נוגע בעקומה בנקודה אחת (קו המשיק לעקומה) מייצג את קצב השינוי באותה נקודה ספציפית.
בחר נקודה שאתה צריך לדעת את הנגזרת ב. בעזרת דוגמת המרחק לעומת הזמן, בחר את השעה בה ברצונך לדעת את מהירות הנסיעה. אם אתה צריך לדעת את המהירות במספר נקודות שונות, אתה יכול לעבור את התהליך הזה עבור כל נקודה בודדת. אם ברצונך לדעת את המהירות 15 שניות לאחר תחילת התנועה, בחר את הנקודה על העקומה 15 שניות על איקס-מיס.
צייר קו המשיק לעיקול בנקודה בה אתה מעוניין. קח את הזמן שלך בזמן שאתה עושה זאת, מכיוון שזה החלק החשוב והמאתגר ביותר בתהליך. ההערכה שלך תהיה טובה יותר אם תצייר קו משיק מדויק יותר. החזק סרגל עד לנקודה שעל העקומה והתאם את כיוונו כך שהקו שתצייר יתקיים רק גע בעקומה בנקודה היחידה בה אתה מעוניין.
צייר את הקו שלך כל עוד התרשים יאפשר. ודא שאתה יכול לקרוא בקלות שני ערכים עבור שניהם איקס ו y קואורדינטות, אחת בסמוך לתחילת הקו ואחת קרוב לסוף. אינך צריך בהחלט לשרטט קו ארוך (מבחינה טכנית כל קו ישר מתאים), אך קווים ארוכים יותר נוטים להיות קלים יותר למדידת שיפוע.
אתר שני מקומות בקו שלך ורשום את המסמך איקס ו y קואורדינטות עבורם. לדוגמה, דמיין את קו המשיק שלך כשני נקודות בולטות בבית איקס = 1, y = 3 ו איקס = 10, y = 30, אותם תוכלו לקרוא לנקודה 1 ולנקודה 2. בעזרת הסמלים איקס1 ו y1 לייצג את הקואורדינטות של הנקודה הראשונה ו- איקס2 ו y2 לייצג את הקואורדינטות של הנקודה השנייה, המדרון M ניתן ע"י:
M = (y2 - y1) ÷ (איקס2 – איקס1)
זה אומר לך את נגזרת של העקומה בנקודה בה הקו נוגע בעקומה. בדוגמה, איקס1 = 1, איקס2 = 10, y1 = 3 ו y2 = 30, אז:
M = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
בדוגמה, תוצאה זו תהיה המהירות בנקודה שנבחרה. אז אם איקסנמדד שנייה תוך שניות ו yנמדד מדדים במטרים, התוצאה הייתה שהרכב המדובר נסע במהירות של 3 מטר לשנייה. ללא קשר לכמות הספציפית שאתה מחשיב, תהליך הערכת הנגזרת זהה.