כיצד גורמים פולינומים עם שברים

תוֹכֶן

• פולינומים עם שברים מוגדרים
• יסודות פקטורינג - רכוש חלוקת ושיטת FOIL
• צעדים שיש לנקוט בעת פקטורציה של שברים פולינומיים
• הערכת משוואות באמצעות פירוק שבר חלקי
• פשט את המכנה
• סידור מחדש של המספר

הדרך הטובה ביותר לפקטור פולינומים עם שברים מתחילה בהפחתת השברים למונחים פשוטים יותר. פולינומים מייצגים ביטויים אלגבריים עם שני מונחים או יותר, ליתר דיוק, סכום המונחים המרובים שיש להם ביטויים שונים לאותו משתנה. אסטרטגיות המסייעות בפישוט פולינומים כוללות בחינת הגורם המשותף הגדול ביותר ואחריה קיבוץ המשוואה למונחים הנמוכים ביותר. הדבר נכון גם כאשר פותרים פולינומים עם שברים.

פולינומים עם שברים מוגדרים

יש לך שלוש דרכים להציג את הביטוי פולינומים עם שברים. הפירוש הראשון עוסק בפולינומים עם שברים למקדמים. באלגברה, המקדם מוגדר ככמות המספרים או הקבועים שנמצאו לפני משתנה. במילים אחרות, המקדמים עבור 7a, b ו- (1/3) c הם 7, 1 ו- (1/3) בהתאמה. שתי דוגמאות, אפוא, לפולינומים עם מקדמי שבר יהיו:

(1/4) x² + 6x + 20 כמו גם x² + (3/4) x + (1/8).

הפרשנות השנייה של "פולינומים עם שברים" מתייחסת לפולינומים הקיימים בצורת שבר או יחס עם מספר ומכנה, כאשר פולינום המספרי מחולק על ידי המכנה פולינום. לדוגמה, פירוש שני זה מודגם על ידי:

(איקס² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

הפירוש השלישי מתייחס בינתיים לפירוק שברים חלקיים, הידוע גם כהתרחבות חלקית. לפעמים שברים פולינומיים מורכבים כך שכאשר הם "מתפרקים" או "מתפרקים" למונחים פשוטים יותר, הם מוצגים כסכומים, הבדלים, מוצרים או כמנתחים של שברים פולינומיים. לשם המחשה, שבר הפולינום המורכב של (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) מוערך באמצעות פירוק שברים חלקיים, אשר אגב, כרוך בפקטורציה של פולינומים, בכדי להיות + בצורה הפשוטה ביותר.

יסודות פקטורינג - רכוש חלוקת ושיטת FOIL

גורמים מייצגים שני מספרים שכאשר מכפילים אותם זהים למספר שלישי. במשוואות אלגבריות, פקטורינג קובע אילו שני כמויות הוכפלו יחד כדי להגיע לפולינום נתון. אחרי המאפיינים של פולינומים יש מעקב כבד אחר המאפיין החלוקתי. המאפיין החלוקתי מאפשר למעשה לכפל סכום על ידי הכפלת כל מספר בנפרד לפני הוספת המוצרים. ראו, למשל, כיצד מיישמים את המאפיין החלוק בדוגמה של:

7 (10x + 5) כדי להגיע לבינומיה של 70x + 35.

אבל, אם מכפילים שני בינומלים זה לזה, נעשה שימוש בגירסה מורחבת של המאפיין החלוקתי בשיטת FOIL. FOIL מייצג את ראשי התיבות של מונחים ראשונים, חיצוניים, פנימיים ואחרונים כפול. לפיכך, פקטורציה של פולינומים כרוכה בביצוע שיטת FOIL לאחור. קח את שתי הדוגמאות הנ"ל עם הפולינומים המכילים מקדמי שבר. ביצוע שיטת FOIL לאחור על כל אחד מהם גורם לגורמים של:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) עבור הפולינום הראשון והגורמים של:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) עבור הפולינום השני.

דוגמה: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

דוגמה: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

צעדים שיש לנקוט בעת פקטורציה של שברים פולינומיים

מלמעלה, שברים פולינומיים כוללים פולינום במונה המחולק על ידי פולינום במכנה. הערכת שברים פולינומיים מחייבת אפוא את הפונוקציה של הפולינום של המספר, ואחריה פקטורציה של הפולינום המכנה. זה עוזר למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר, או GCF, בין המונה והמכנה. ברגע שנמצא ה- GCF של המונה והן של המכנה, הוא מבטל, ובסופו של דבר מצמצם את המשוואה כולה למונחים פשוטים יותר. קחו למשל את הדוגמה המקורית בשבר הפולינום שלעיל

(איקס² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

קבלת תוצאות פולימר של המונה והמכנה כדי למצוא את תוצאות ה- GCF ב:

÷, כאשר ה- GCF הוא (x + 2).

ה- GCF הן במונה והן במכנה מבטלים זה את זה כדי לספק את התשובה הסופית במונחים הנמוכים ביותר של (x + 5) ÷ (x + 9).

דוגמא:

איקס² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

איקס²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

הערכת משוואות באמצעות פירוק שבר חלקי

פירוק שברים חלקיים, הכרוך בפקטורינג, הוא דרך לשכתב משוואות שברים של פולינום מורכבים לצורה פשוטה יותר. בחינת הדוגמה מלמעלה של

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

פשט את המכנה

פשט את המכנה לקבלת: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

איקס² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

סידור מחדש של המספר

בשלב הבא, סדרו מחדש את המספר כך שיתחיל להיות בו ה- GCFs נמצאים במכנה, כדי לקבל:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, אשר מורחבת הלאה ל {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

לגבי התוספת השמאלית, ה- GCF הוא (x - 1), ואילו עבור התוספת הימנית, ה- GCF הוא (x + 2), המבטלים במונה ובמכנה, כפי שניתן לראות ב {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

לפיכך, כאשר ה- GCF מבטל, התשובה הפשוטה הסופית היא +:

3 5

__ + __ כפתרון של פירוק השבר החלקי.

x + 2 x - 1