כיצד למצוא את שורשי פולינום

תוֹכֶן

• כמה שורשים?
• אזהרות
• מצא שורשים על ידי פקטורינג: דוגמה 1
• מצא שורשים על ידי פקטורינג: דוגמא 2
• מצא שורשים לפי גרפים

שורשי פולינום נקראים גם האפסים שלו, מכיוון שהשורשים הם ה איקס ערכים שבהם הפונקציה שווה לאפס. כשמדובר במציאת השורשים, עומדות לרשותך טכניקות מרובות; פקטורינג היא השיטה בה תוכלו להשתמש בתדירות הגבוהה ביותר, אם כי גם גרפים יכולים להיות שימושיים.

כמה שורשים?

בחן את המונח בדרגה הגבוהה ביותר של הפולינום - כלומר המונח עם האקספקטנט הגבוה ביותר. אקספקטנט זה הוא כמה שורשים יהיה לפולינום. אז אם המוצפן הגבוה ביותר בפולינום שלך הוא 2, יהיה לו שני שורשים; אם המפתח הגבוה ביותר הוא 3, יהיה לו שלושה שורשים; וכן הלאה.

אזהרות

מצא שורשים על ידי פקטורינג: דוגמה 1

הדרך המגוונת ביותר למצוא שורשים היא פקטורציה של הפולינום שלך ככל האפשר ואז הגדרת כל מונח שווה לאפס. זה הגיוני הרבה יותר אחרי שעקבת כמה דוגמאות. קחו בחשבון את הפולינום הפשוט איקס² - 4_x: _

מבדיקה קצרה עולה שאתה יכול לעשות גורם איקס מתוך שני המונחים של הפולינום, שנותן לך:

איקס(איקס – 4)

הגדר כל מונח לאפס. זה אומר פיתרון לשתי משוואות:

איקס = 0 הוא המונח הראשון שנקבע לאפס, ו

איקס - 4 = 0 הוא המונח השני שנקבע לאפס.

יש לך כבר את הפיתרון לקדנציה הראשונה. אם איקס = 0, אז הביטוי כולו שווה לאפס. לכן איקס = 0 הוא אחד השורשים, או האפסים, של הפולינום.

כעת, שקלו את המונח השני ופתרו עבורו איקס. אם תוסיף 4 לשני הצדדים יהיה לך:

איקס - 4 + 4 = 0 + 4, שמפשט ל:

איקס = 4. אז אם איקס = 4 אז הגורם השני שווה לאפס, כלומר גם הפולינום כולו שווה לאפס.

מכיוון שהפולינום המקורי היה מדרגה שנייה (המוצפן הגבוה ביותר היה שני), אתה יודע שיש רק שני שורשים אפשריים לפולינום הזה. כבר מצאת את שניהם, אז כל שעליך לעשות הוא לרשום את שניהם:

איקס = 0, איקס = 4

מצא שורשים על ידי פקטורינג: דוגמא 2

הנה דוגמא אחת נוספת כיצד למצוא שורשים באמצעות פקטורינג, באמצעות אלגברה מהודרת לאורך הדרך. קחו בחשבון את הפולינום איקס⁴ 16. מבט מהיר על הממצאים שלה מראה לך שצריך להיות ארבעה שורשים לפולינום הזה; עכשיו הגיע הזמן למצוא אותם.

שמתם לב שאפשר לכתוב מחדש את פולינום זה כהבדל בין ריבועים? אז במקום איקס⁴ - 16, יש לך:

(איקס²)² – 4²

מה שמשתמש בנוסחה להבדל הריבועים מגביל את הדברים הבאים:

(איקס² – 4)(איקס² + 4)

המונח הראשון הוא, שוב, הבדל בין ריבועים. כך שלמרות שאינך מצביע על המונח בצד ימין, אתה יכול לחשב את המונח בצד שמאל צעד נוסף:

(איקס – 2)(איקס + 2)(איקס² + 4)

עכשיו הגיע הזמן למצוא את האפסים. מהר מאוד מתברר שאם איקס = 2, הגורם הראשון יהיה שווה לאפס, וכך הביטוי כולו יהיה שווה לאפס.

באופן דומה, אם איקס = -2, הגורם השני יהיה שווה לאפס וכך גם הביטוי כולו.

לכן איקס = 2 ו איקס = -2 הם שניהם אפסים או שורשים של פולינום זה.

אבל מה עם הקדנציה האחרונה? מכיוון שיש לו אקספקטנט "2", עליו להיות שני שורשים. אבל אתה לא יכול לבטא את הביטוי הזה באמצעות המספרים האמיתיים שהיית רגיל להם. עליכם להשתמש במושג מתמטי מאוד מתקדם שנקרא מספרים דמיוניים או, אם תעדיפו, מספרים מורכבים. זה הרבה מעבר לתחום התרגול הנוכחי שלך במתמטיקה, אז לעת עתה זה מספיק כדי לציין שיש לך שני שורשים אמיתיים (2 ו -2), ושני שורשים דמיוניים שתשאיר לא מוגדרים.

מצא שורשים לפי גרפים

אתה יכול גם למצוא, או לפחות להעריך, שורשים על ידי תרשים. כל שורש מייצג נקודה בה גרף הפונקציה חוצה את איקס ציר. אז אם תרשים את השורה ואז ציין את איקס קואורדינטות איפה הקו חוצה את איקס ציר, אתה יכול להכניס את המשוער איקס ערכים של נקודות אלה במשוואה שלך ובדוק אם הצלחת לתקן אותם.

קחו למשל את הדוגמה הראשונה שעבדתם, עבור הפולינום איקס² - 4_x_. אם תצייר את זה בזהירות, תראה שהקו חוצה את איקס ציר ב איקס = 0 ו איקס = 4. אם הזנת כל אחד מערכים אלה למשוואה המקורית, תקבל:

0² - 4 (0) = 0, כך איקס = 0 היה אפס או שורש תקף לפולינום זה.

4² - 4 (4) = 0, כך איקס = 4 הוא גם אפס או שורש תקף לפולינום זה. ומכיוון שהפולינום היה בדרגה 2, אתה יודע שתוכל להפסיק לדאוג למציאת שני שורשים.