תוֹכֶן
פיתרון אי שוויון בערך מוחלט זה כמו לפתור משוואות ערך מוחלטות, אך יש כמה פרטים נוספים שכדאי לזכור. זה עוזר כבר להיות בנוח לפתור משוואות ערך מוחלט, אבל זה בסדר אם גם אתם לומדים אותם יחד!
הגדרת אי שוויון מוחלט בערך
קודם כל, א אי שוויון מוחלט הוא אי שוויון הכרוך בביטוי ערכי מוחלט. לדוגמה,
| 5 + איקס | - 10> 6 הוא אי שוויון ערך מוחלט מכיוון שיש לו סימן אי שוויון,> וביטוי ערך מוחלט, | 5 + איקס |.
כיצד לפתור אי שוויון מוחלט בערך
ה צעדים לפתרון אי שוויון מוחלט דומים לשלבים לפתרון משוואת ערך מוחלט:
שלב 1: לבודד את הביטוי הערך המוחלט מצד אחד של אי השוויון.
שלב 2: לפתור את "הגרסה" החיובית של אי השוויון.
שלב 3: לפתור את "הגרסה" השלילית של אי השוויון על ידי הכפלת הכמות בצד השני של אי השוויון ב -1 והפניית סימן אי השוויון.
זה הרבה דברים לקחת בבת אחת, אז הנה דוגמא שתוביל אותך במדרגות.
לפתור את אי השוויון עבור איקס: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
לשם כך, קבל | 5 + 5_x_ | כשלעצמו בצד שמאל של אי השוויון. כל שעליכם לעשות הוא להוסיף 3 לכל צד:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
כעת יש שתי "גרסאות" לחוסר השוויון שעלינו לפתור: "הגרסה" החיובית וה"גרסה "השלילית.
בשלב זה, נניח שהדברים הם כפי שהם נראים: 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
זהו אי שוויון פשוט; אתה רק צריך לפתור עבור איקס כרגיל. מחסרים 5 משני הצדדים, ואז מחלקים את שני הצדדים ב -5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (חיסור חמש משני הצדדים)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (חלק את שני הצדדים בחמישה)
איקס > 0.
לא רע! אז פיתרון אפשרי לחוסר השוויון שלנו הוא זה איקס > 0. כעת, מכיוון שישנם ערכים מוחלטים מעורבים, זמנה לשקול אפשרות אחרת.
כדי להבין את הקטע הבא זה עוזר לזכור מה המשמעות של ערך מוחלט. ערך מוחלט מודד מרחק מספרים מאפס. המרחק הוא תמיד חיובי, ולכן 9 היא תשע יחידות מאפס, אבל −9 הוא גם תשע יחידות מאפס.
אז | 9 | = 9, אבל | −9 | = 9 גם כן.
עכשיו בחזרה לבעיה שלמעלה. העבודה שלמעלה הראתה ש | 5 + 5_x_ | > 5; במילים אחרות, הערך המוחלט של "משהו" גדול מחמישה. כעת, כל מספר חיובי הגדול מחמש הולך להיות רחוק יותר מאפס מאשר בחמש. אז האפשרות הראשונה הייתה ש"משהו ", 5 + 5_x_, גדול מ- 5.
כלומר: 5 + 5_x_> 5.
זה התרחיש שנדון לעיל, בשלב 2.
עכשיו תחשוב קצת יותר. מה עוד רחוק חמש יחידות מאפס? ובכן, חמש השלילי הוא. וכל מה שקורה לאורך קו המספר מחמש השלילי הולך להיות רחוק עוד יותר מאפס. אז ה"משהו "שלנו יכול להיות מספר שלילי שנמצא רחוק יותר מאפס מאשר חמש שלילי. זה אומר שזה יהיה מספר גדול יותר שנשמע, אבל מבחינה טכנית פחות מ שלילי חמש מכיוון שהוא נע בכיוון השלילי בקו המספר.
אז ה"משהו "שלנו, 5 + 5x, יכול להיות פחות מ- -5.
5 + 5_x_ <−5
הדרך המהירה לעשות זאת באופן אלגברי היא להכפיל את הכמות בצד השני של אי השוויון, 5 בזה אחר, ואז להפוך את סימן האי שוויון:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
ואז לפתור כרגיל.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (חיסור 5 משני הצדדים)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
איקס < −2.
אז שני הפתרונות האפשריים לחוסר השוויון הם איקס > 0 או איקס <−2. בדוק את עצמך על ידי חיבור מספר פתרונות אפשריים כדי לוודא שהאי שוויון עדיין מתקיים.
אי שוויון ערך מוחלט ללא פיתרון
יש תרחיש איפה שיהיה אין פתרונות לחוסר שוויון ערכי מוחלט. מכיוון שערכים מוחלטים הם תמיד חיוביים, הם לא יכולים להיות שווים למספרים שליליים או פחות.
אז | איקס | <−2 יש אין פתרון מכיוון שהתוצאה של ביטוי בעל ערך מוחלט צריכה להיות חיובית.
סימון מרווח
כדי לכתוב את הפיתרון לדוגמא העיקרית שלנו ב- סימון מרווח, חשוב על איך נראה הפיתרון בשורת המספרים. הפיתרון שלנו היה איקס > 0 או איקס <−2. בשורת מספרים, זוהי נקודה פתוחה ב -0, כאשר קו משתרע לאינסוף חיובי, ונקודה פתוחה ב -2, כאשר קו מתרחב לאינסוף שלילי. פתרונות אלה מצביעים זה מזה, לא זה אל זה, אז קחו כל חתיכה בנפרד.
עבור x> 0 בשורת מספרים, נקודה פתוחה באפס ואז קו המשתרע עד אינסוף. בסימון מרווח, נקודה פתוחה מאוירת בסוגריים, () ונקודה סגורה, או אי-שוויון עם ≥ או ≤, ישתמשו בסוגריים. אז בשביל איקס > 0, כתוב (0, ∞).
החצי השני, איקס <−2, בשורת מספרים נקודה פתוחה ב- −2 ואז חץ המשתרע עד הסוף −∞. בסימון רווח, זה (−∞, −2).
"או" בסימן ההפוגה הוא סימן האיחוד, ∪.
אז הפיתרון בסימון מרווח הוא (−∞, −2) ∪ (0, ∞).