כיצד לחשב את סכום הסדרה הגיאומטרית

תוֹכֶן

• מציאת האלמנט התשיעי בסדרה גיאומטרית
• חישוב סכום הרצף הגאומטרי

במתמטיקה, רצף הוא כל מחרוזת המספרים המסודרים בסדר הולך וגדל. רצף הופך לרצף גיאומטרי כאשר אתה יכול להשיג כל מספר על ידי הכפלת המספר הקודם בגורם משותף. לדוגמה, הסדרות 1, 2, 4, 8, 16. . . הוא רצף גיאומטרי עם הגורם המשותף 2. אם תכפיל מספר כלשהו בסדרה ב -2, תקבל את המספר הבא. לעומת זאת, הרצף 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . אינו גיאומטרי מכיוון שאין שום גורם נפוץ בין המספרים. לרצף גאומטרי יכול להיות גורם משותף לשברירי, ובמקרה זה כל מספר ברצף קטן מזה שקודם לו. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . היא דוגמא. הגורם המשותף שלו הוא 1/2.

העובדה שלרצף גיאומטרי יש גורם משותף מאפשרת לך לעשות שני דברים. הראשון הוא לחשב כל יסוד אקראי ברצף (שמתמטיקאים אוהבים לכנות את האלמנט "nth"), והשני הוא למצוא את סכום הרצף הגאומטרי עד ליסוד ה- n. כאשר אתה מסכם את הרצף על ידי הצבת סימן פלוס בין כל זוג מונחים, אתה הופך את הרצף לסדרה גיאומטרית.

מציאת האלמנט התשיעי בסדרה גיאומטרית

באופן כללי, אתה יכול לייצג כל סדרה גיאומטרית בדרך הבאה:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .

כאשר "a" הוא המונח הראשון בסדרה ו- "r" הוא הגורם השכיח. כדי לבדוק זאת, שקול את הסדרות בהן a = 1 ו- r = 2. אתה מקבל 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . זה עובד!

לאחר שקבע את זה, ניתן כיום לגזור נוסחה למונח ה- n ברצף (x_n).

איקס_n = ar^(n-1)

האקספקטנט הוא n - 1 ולא n כדי לאפשר את המונח הראשון ברצף לכתוב כ- ar⁰, השווה ל"א. "

בדוק זאת על ידי חישוב המונח הרביעי בסדרת הדוגמה.

איקס₄ = (1) • 2³ = 8.

חישוב סכום הרצף הגאומטרי

אם ברצונך לסכם רצף שונה, שהוא אחד עם מנות נפוצות שגדולות מ -1 או פחות מ -1, אתה יכול לעשות זאת רק עד מספר מוגבל של מונחים. אפשר לחשב את סכום רצף ההתכנסות האינסופי, עם זאת, שהוא אחד עם היחס המשותף בין 1 ל -1.

כדי לפתח את נוסחת הסכום הגיאומטרי, התחל בבחינת מה אתה עושה. אתה מחפש את סך כל סדרות התוספות הבאות:

a + ar + ar² + ar³ +. . . ar^(n-1)

כל מונח בסדרה הוא ar^k, ו- k עובר מ- 0 ל- n-1. הנוסחה לסכום הסדרה עושה שימוש בסימן ההון sigma - ∑ - שפירושו להוסיף את כל המונחים מ- (k = 0) ל- (k = n - 1).

∑ar^k = א

כדי לבדוק זאת, קחו בחשבון את סכום 4 המונחים הראשונים של הסדרה הגיאומטרית המתחילה ב- 1 ובעל גורם משותף של 2. בנוסחה שלמעלה, a = 1, r = 2 ו- n = 4. כשמחברים לערכים אלה אתם לקבל:

1 • = 15

קל לאמת זאת על ידי הוספת המספרים בסדרה בעצמך. למעשה, כאשר אתה זקוק לסכום של סדרה גיאומטרית, בדרך כלל קל יותר להוסיף את המספרים בעצמך כשיש מעט מונחים בלבד. אם יש לסדרה מספר גדול של מונחים, קל בהרבה להשתמש בנוסחת הסכום הגיאומטרי.