תוֹכֶן
- מצא את הזווית המרכזית מאורך קשת והיקף הקשת
- מצא את הזווית המרכזית מאורך קשת ורדיוס
- משפט הזווית המרכזית
- חריג למשפט הזווית המרכזי
- דמיינו
דמיין שאתה עומד באמצע זירה מעגלית לחלוטין. אתה משקיף לעבר ההמונים לאורך צידי הזירה, ואתה מציב את החבר הכי טוב שלך במושב אחד ואת המורה שלך ללימודים במתמטיקה בבית הספר התיכון, שכמה קטעים. מה המרחק בינם לבינך? כמה רחוק היית צריך ללכת כדי לנסוע ממושב החברים שלך למושב המורים שלך? מהם המדדים של הזוויות שביניכם? כל אלה קשורים לזוויות מרכזיות.
א זווית מרכזית היא הזווית שנוצרת כאשר שני רדיוסים נמשכים ממרכז המעגל לקצוותיו. בדוגמה זו, שני הרדיוסים הם שני קווי הראייה שלך ממך, במרכז הזירה, לחברך, וקו הראיה שלך למורה שלך. הזווית שנוצרת בין שני קווים אלו היא הזווית המרכזית. זה הזווית הקרובה ביותר למרכז המעגל.
החבר והמורה שלך יושבים לאורך הכביש היקף או בקצוות המעגל. המסלול לאורך הזירה המחבר ביניהם הוא קשת.
מצא את הזווית המרכזית מאורך קשת והיקף הקשת
ישנן כמה משוואות בהן תוכלו להשתמש כדי למצוא את הזווית המרכזית. לפעמים תקבל את אורך קשת, המרחק לאורך ההיקף בין שתי נקודות. (בדוגמה, זה המרחק שתצטרך להסתובב בזירה כדי להגיע מחברך למורה שלך.) הקשר בין זווית מרכזית ואורך קשת הוא:
(אורך קשת) ÷ היקף = (זווית מרכזית) ÷ 360 °
הזווית המרכזית תהיה במעלות.
הנוסחה הגיונית אם חושבים על זה. אורך הקשת מתוך האורך הכולל סביב המעגל (היקף) זה פרופורציה זהה לזווית הקשתות מהזווית הכוללת במעגל (360 מעלות).
כדי להשתמש במשוואה זו ביעילות, עליכם לדעת את היקף המעגל. אבל אתה יכול גם להשתמש בנוסחה זו כדי למצוא את אורך הקשת אם אתה יודע את הזווית המרכזית ואת ההיקף. לחלופין, אם יש לך אורך הקשת והזווית המרכזית, אתה יכול למצוא את ההיקף!
מצא את הזווית המרכזית מאורך קשת ורדיוס
אתה יכול גם להשתמש ברדיוס המעגל ובאורך הקשת כדי למצוא את הזווית המרכזית. קראו למדוד של הזווית המרכזית θ. לאחר מכן:
θ = ש ÷ r, כאשר s אורך הקשת ו- r הוא הרדיוס. θ נמדד ברדיאנים.
שוב, אתה יכול לארגן מחדש את המשוואה הזו בהתאם למידע שיש לך. אתה יכול למצוא את אורך הקשת מהרדיוס והזווית המרכזית. או שתוכלו למצוא את הרדיוס אם יש לכם את הזווית המרכזית ואת אורך הקשת.
אם אתה רוצה את אורך הקשת, המשוואה נראית כך:
s = θ * r, כאשר s הוא אורך הקשת, r הוא הרדיוס, ו- θ הוא הזווית המרכזית ברדיאנים.
משפט הזווית המרכזית
מאפשר להוסיף טוויסט לדוגמא שלך איפה אתה בזירה עם השכן והמורה שלך. עכשיו יש אדם שלישי שאתה מכיר בזירה: השכן שלך הסמוך. ועוד דבר אחד: הם מאחוריך. צריך להסתובב לראות אותם.
השכן שלך נמצא כמעט בזירה מחברך והמורה שלך. מנקודת המבט של שכניכם, יש זווית שנוצרה על ידי קו הראייה שלהם לחבר וקו הראייה שלהם למורה. זה קרא לזווית חקוקה. א זווית חקוקה הוא זווית שנוצרת על ידי שלוש נקודות לאורך היקף מעגלים.
משפט הזווית המרכזית מסביר את הקשר בין גודל הזווית המרכזית, שנוצרה על ידך, לבין הזווית הכתובה, שנוצרה על ידי שכןך. ה משפט זווית מרכזי מציין ש הזווית המרכזית היא כפולה מזווית החתום. (זה מניח שאתה משתמש באותם נקודות קצה. אתה מסתכל על המורה וגם על החבר, לא על אף אחד אחר).
הנה דרך נוספת לכתוב את זה. בוא נקרא לחברים שלך מושב A, המורים שלך מושבים ב 'ושכניך מושבים C. אתה, במרכז, אתה יכול להיות O.
אז, לשלוש נקודות A, B ו- C לאורך היקף המעגל והנקודה O במרכז, הזווית המרכזית ∠AOC היא כפליים מזווית החתום ∠ABC.
זה, ∠AOC = 2∠ABC.
זה הגיוני. אתה קרוב יותר לחבר ולמורה, לכן אליך הם מסתכלים זה מזה (זווית גדולה יותר). לשכן שלך בצד השני של האצטדיון, הם נראים הרבה יותר קרובים זה לזה (זווית קטנה יותר).
חריג למשפט הזווית המרכזי
כעת, בואו להעביר את הדברים למעלה. השכן שלך בצד הרחוק של הזירה מתחיל להסתובב! עדיין יש להם קו ראיה לחבר ולמורה, אך הקווים והזוויות ממשיכים לנוע כשהשכן זז. נחשו מה: כל עוד השכן נשאר מחוץ לקשת בין החבר לשכן, משפט הזווית המרכזי עדיין נכון!
אבל מה קורה כשהשכן עובר דירה בין החבר והמורה? עכשיו השכן שלך נמצא בתוך ה קשת מינורית, המרחק הקטן יחסית בין החבר למורה לעומת המרחק הגדול יותר בשאר הזירה. ואז תגיע לחריג ממשפט הזווית המרכזי.
ה פרט למשפט הזווית המרכזי קובע כי כאשר נקודה C, השכן, נמצאת בתוך קשת הקטין, הזווית הכתובה היא תוסף של חצי מהזווית המרכזית. (זכור כי זווית והיא תוסף הוסף ל- 180 מעלות.)
לכן: זווית חקוקה = 180 - (זווית מרכזית ÷ 2)
או: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
דמיינו
הפניה למתמטיקה הפתוחה יש כלי להמחשת משפט זווית מרכזי וחריגו. אתה מקבל גרור את "השכן" לכל חלקי המעגל השונים ולראות את הזוויות משתנות. נסה את זה אם אתה רוצה תרגול חזותי או תוספת!