כיצד לפשט מספרים מורכבים

תוֹכֶן

• TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)
• מה זה מספר מורכב?
• כללים בסיסיים לאלגברה עם מספרים מורכבים
• חלוקת מספרים מורכבים
• פישוט מספרים מורכבים

אלגברה כרוכה לעתים קרובות בפשטות ביטויים, אך ביטויים מסוימים מבלבלים יותר להתמודד איתם מאחרים. מספרים מורכבים כרוכים בכמות המכונה אני, מספר "דמיוני" עם הנכס אני = √ − 1. אם עליך פשוט לבטא ביטוי הכולל מספר מורכב, זה אולי נראה מרתיע, אבל זה תהליך די פשוט ברגע שאתה לומד את הכללים הבסיסיים.

TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)

פשט מספרים מורכבים על ידי ביצוע כללי האלגברה עם מספרים מורכבים.

מה זה מספר מורכב?

מספרים מורכבים מוגדרים על ידי הכללתם של ה- אני מונח שהוא השורש הריבועי של מינוס אחד. במתמטיקה ברמה הבסיסית, שורשים מרובעים של מספרים שליליים אינם באמת קיימים, אך הם מופיעים מדי פעם בבעיות אלגברה. הטופס הכללי למספר מורכב מראה את המבנה שלהם:

ז = א + בי

איפה ז מתייג את המספר המורכב, א מייצג כל מספר (המכונה החלק "האמיתי"), ו- ב מייצג מספר אחר (המכונה החלק "הדמיוני"), ששניהם יכולים להיות חיוביים או שליליים. אז דוגמה מורכבת לדוגמא היא:

ז = 2 −4_i_

מכיוון שניתן לייצג את כל השורשים המרובעים של מספרים שליליים על ידי כפל של אני, זה הטופס לכל המספרים המורכבים. מבחינה טכנית, מספר רגיל רק מתאר מקרה מיוחד של מספר מורכב היכן ב = 0, כך שכל המספרים יכולים להיחשב כמורכבים.

כללים בסיסיים לאלגברה עם מספרים מורכבים

כדי להוסיף ולחסר מספרים מורכבים, פשוט הוסף או חסר את החלקים האמיתיים והדמיוניים בנפרד. אז לגבי מספרים מורכבים ז = 2 - 4_i_ ו- w = 3 + 5_i_, הסכום הוא:

ז + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)אני

= 5 + 1_i_ = 5 + אני

הפחתת המספרים עובדת באותו אופן:

ז − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)אני

= −1 - 9_i_

כפל הוא עוד פעולה פשוטה עם מספרים מורכבים, מכיוון שהיא עובדת כמו כפל רגיל אלא שאתה צריך לזכור את זה אני² = −1. אז לחישוב 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

אך מאז אני²= −1, אם כן:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

עם מספרים מורכבים מלאים (באמצעות ז = 2 - 4_i_ ו- w = 3 + 5_i_ שוב), אתה מכפיל אותם באותה צורה שהיית עושה עם מספרים רגילים כמו (א + ב) (ג + ד), בשיטת "הראשון, הפנימי, החיצוני, האחרון" (FOIL), כדי לתת (א + ב) (ג + ד) = ac + bc + מודעה + bd. כל שעליכם לזכור הוא לפשט את כל המקרים בהם אני². אז למשל:

ז × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

חלוקת מספרים מורכבים

חלוקת מספרים מורכבים כוללת הכפלת המספר והמכנה של השבר בקומגרט המורכב של המכנה. צירוף המורכבים פירושו פשוט את גרסת המספר המורכב כאשר החלק הדמיוני הפוך בסימן. אז בשביל ז = 2 - 4_i_, המצומד המורכב ז = 2 + 4_i_, ובשביל w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. לבעיה:

ז / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

הצמיד הנדרש הוא w*. חלק את המספר והמכנה בזה כדי לתת:

ז / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

ואז אתה עובד כמו בסעיף הקודם. המספר נותן:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

והמכנה נותן:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

זה אומר:

ז / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

פישוט מספרים מורכבים

השתמש בכללים לעיל לפי הצורך כדי לפשט ביטויים מורכבים. לדוגמה:

ז = ((4 + 2_i_) + (2 - אני)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ אני))

ניתן לפשט זאת על ידי שימוש בכללי התוספת במונה, כלל הכפל במכנה ואז השלמת החלוקה. עבור המספר:

(4 + 2_i_) + (2 - אני) = 6 + אני

עבור המכנה:

(2 + 2_i _) (2+ אני) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

החזרתם למקומה נותנת:

ז = (6 + אני) / (2 + 6_i_)

הכפלת שני החלקים בצירוף המכנה מוביל ל:

ז = (6 + אני) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

אז זה אומר ז מפשט כדלקמן:

ז = ((4 + 2_i_) + (2 - אני)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ אני)) = 9/20 −17_i_ / 20