תוֹכֶן
- כיצד לכתוב על מרכז הכובד
- כיצד לחשב CG של משולש
- נוסחת מרכז הכובד למלבן
- מרכז משוואת הכבידה
- טריקים למציאת מרכז הכובד
לפני שנדון במרכז הכובד, בואו נניח כמה פרמטרים. האחד, שאתה מתמודד עם חפץ שנמצא על פני כדור הארץ, לא בחלל איפשהו. ושניים, שהאובייקט קטן למדי - נניח, לא חללית שחונה על פני כדור הארץ ומחכה להמריא.לאחר ביטול כל ההשפעות החיצוניות, אתה נמצא במצב מצוין לחישוב מרכז הכובד של חפצים גיאומטריים בעזרת נוסחה פשוטה יחסית - ולמעשה, בגלל התנאים שהוגדרו, תוכלו להשתמש באותה נוסחה כדי למצוא את מרכז הכובד כמו למצוא את מרכז המיסה.
כיצד לכתוב על מרכז הכובד
מרכז הכובד במישור דו ממדי מצוין בדרך כלל על ידי הקואורדינטות (xcg, ycg) או לפעמים לפי המשתנים איקס ו y עם פס מעליהם. כמו כן, המונח "מרכז הכובד" מקוצר לפעמים ל- cg.
כיצד לחשב CG של משולש
לעתים קרובות יש בספר המתמטיקה או בפיזיקה תרשימים לקביעת מרכז האיזון של דמויות מסוימות. אבל עבור כמה צורות גיאומטריות נפוצות, אתה יכול להשתמש בנוסחה המתאימה של מרכז הכובד כדי למצוא את צורות מרכז הכובד.
עבור משולשים, מרכז הכובד יושב בנקודה בה שלושת המדיונים מצטלבים. אם אתה מתחיל בקודקוד אחד של המשולש ואז מצייר קו ישר לנקודת האמצע של הצד השני, זהו חציון אחד. עשו אותו דבר עבור שני הקודקודים האחרים, והנקודה בה שלושת המדדיים מצטלבים היא מרכז הכובד של המשולשים.
וכמובן, יש נוסחה לכך. אם הקואורדינטות של מרכז הכובד של המשולשים הם (xcg, ycg), אתה מוצא את הקואורדינטות שלה באופן כזה:
איקסcg = (x1 + x2 + x3) ÷ 3
ycg = (y1 + y2 + y3) ÷ 3
איפה (x1, y1), (איקס2, y2) ו- (x3, y3) הם הקואורדינטות של המשולשים שלושה קודקודים. אתה יכול לבחור איזה קודקוד מוקצה לאיזה מספר.
נוסחת מרכז הכובד למלבן
האם שמת לב שכדי למצוא את מרכז הכובד למשולש אתה פשוט ממוצע את הערך של קואורדינטות ה- x, ואז ממוצע הערך של קואורדינטות y ומשתמש בשתי התוצאות כקואורדינטות למרכז הכובד שלך?
כדי למצוא את מרכז הכובד למלבן אתה עושה את אותו הדבר בדיוק. אך כדי להקל עוד יותר על החישובים שלך, נניח שהמלבן מכוון בריבוע למישור הקואורדינציה הקרטזית (כך שהוא לא מוגדר בזווית), וכי קודקודו השמאלי התחתון הוא במקור הגרף. במקרה כזה, למצוא (xcg, ycg) עבור מלבן, כל שעליך לחשב הוא:
איקסcg = רוחב ÷ 2
ycg = גובה ÷ 2
אם אינך מעוניין להעביר את המלבן למקור מטוס הקואורדינטות, או אם מסיבה כלשהי הוא לא בדיוק ריבועי לצירי הקואורדינטות, תוכל להתמודד עם הנוסחה המעט צרה יותר, אך עדיין יעילה, לממוצע כל ה- X-קואורדינטות שלה כדי למצוא את הערך של xcg, ובממוצע כל קואורדינטות y כדי למצוא את הערך של ycg:
איקסcg = (x1 + x2 + x3 + x4) ÷ 4
ycg = (y1 + y2 + y3 + y4) ÷ 4
מרכז משוואת הכבידה
מה אם אתה צריך לחשב את מרכז הכובד עבור צורה שמתאימה לכל ההנחות שהוזכרו לראשונה (בעיקרון, אתה לא מנסה לעשות מדע טילים מילולי על ידי מציאת מרכז הכובד של עצמים בחלל), אבל זה לא נופל לאף אחד מ הקטגוריות שהוזכרו זה עתה או בתרשימים בחלק האחורי של הספר שלך? אז אתה יכול לחלק את הצורה שלך לצורות מוכרות יותר, ולהשתמש במשוואות הבאות כדי למצוא את מרכז הכובד הקולקטיבי שלהן:
איקסcg = (א1איקס1 + א2איקס2 +. . . + אnאיקסn) ÷ (א1 + א2 +. . . + אn)
ycg = (א1y1 + א2y2 +. . . + אnyn) ÷ (א1 + א2 +. . . + אn)
או אם לנסח זאת בדרך אחרת, xcg שווה לשטח של קטע 1 כפול המיקום שלו על ציר ה- x, נוסף לאזור של קטע פי 2 מהמיקום שלו, וכן הלאה עד שהוספת את האזור כפול המיקום של כל החלקים; ואז חלק את הסכום כולו בשטח הכולל של כל החלקים. ואז עשה את אותו הדבר עבור y.
ש: איך אני מוצא את האזור של כל קטע? חלוקת הצורה המורכבת או הלא סדירה שלך למצולעים מוכרים יותר מאפשרת לך להשתמש בנוסחאות סטנדרטיות כדי למצוא שטח. לדוגמה, אם חילקת את הצורה לחלקים מלבניים, אתה יכול להשתמש באורך הנוסחה × רוחב כדי למצוא את השטח של כל חתיכה.
ש: מה ה"מיקום "של כל קטע? המיקום של כל קטע הוא הקואורדינטה המתאימה מאותו קטע מרכז הכובד. אז אם אתה רוצה y2 (המיקום של קטע 2), למעשה אתה צריך לספק את קואורדינטת y עבור מרכז הכובד הזה. שוב, זו הסיבה שאתה מחלק את האובייקט המעוצב בצורה מוזרה לצורות מוכרות יותר, מכיוון שאתה יכול להשתמש בנוסחאות שכבר דנו כדי למצוא כל מרכז הכובד של הצורות ואז לחלץ את הקואורדינטות המתאימות.
ש: לאן הצורה שלי עוברת במישור הקואורדינטות? אתה צריך לבחור היכן הצורה שלך יושבת על מישור הקואורדינטות - רק קח בחשבון שמרכז הכובד של התשובות שלך יהיה ביחס לאותה נקודת התייחסות. הכי קל למקם את האובייקט שלך ברבע הראשון של הגרף שלך, כאשר הקצה התחתון שלו כנגד ציר ה- x והקצה השמאלי כנגד ציר ה- Y כך שכל ערכי ה- X- ו- Y יהיו חיוביים, אך גם קטנים מספיק כדי להיות ניתן לניהול.
טריקים למציאת מרכז הכובד
אם אתה מתמודד עם אובייקט יחיד, אינטואיציה וקצת היגיון הם לפעמים כל מה שאתה צריך כדי למצוא את מרכז הכובד שלו. לדוגמה, אם אתה שוקל דיסק שטוח, מרכז הכובד יהיה מרכז הדיסק. בצילינדר, נקודת האמצע שלו על ציר הגלילים. עבור מלבן (או ריבוע), הנקודה בה מתכנסים הקווים האלכסוניים.
אולי שמתם לב לתבנית כאן: אם לאובייקט המדובר יש קו סימטריה, מרכז הכובד יהיה בקו זה. ואם יש לו צירי סימטריה מרובים, מרכז הכובד יהיה במקום בו צירים אלה מצטלבים.
לבסוף, אם אתה מנסה למצוא את מרכז הכובד לאובייקט מורכב באמת, עומדות בפניך שתי אפשרויות: השלם את האינטגרלים החישובים הטובים ביותר שלך (ראה משאבים לאינטגרל משולש המייצג את מרכז הכובד למסה לא אחידה) או הזן את הנתונים שלך למחשבון מרכז הכובד המיועד למטרה. (ראה משאבים לדוגמא למחשבון מרכז הכובד למטוסים נשלטים על ידי רדיו.)