כיצד לחשב מסלולי דרך

תוֹכֶן

• המשוואות הקינמיות
• דוגמאות לתנועת השלכת
• חישובי מסלול

תנועת קליע מתייחס לתנועה של חלקיק המועבר במהירות ראשונית אך לאחר מכן אינו נתון לכוחות אחרים מלבד זה של כוח הכבידה.

זה כולל בעיות בהן החלקיק מושלך בזווית שבין 0 ל 90 מעלות לאופקית, כאשר בדרך כלל האופקי הוא הקרקע. מטעמי נוחות מניחים כי טילים אלה נודדים ב (x, y) מטוס, עם איקס המייצג תזוזה אופקית y תזוזה אנכית.

הנתיב שנלקח על ידי הטיל מכונה שלו מסלול. (שימו לב שהקשר הנפוץ ב"שלוח "ו"מסלול" הוא הברה "-הזרקה", המילה הלטינית ל"זריקה ". להוצאת מישהו זה ממש לזרוק אותו החוצה.) נקודת המוצא של הטיל בבעיות. בה אתה צריך לחשב את מסלול ההנחה בדרך כלל הוא (0, 0) לשם פשטות אלא אם כן צוין אחרת.

מסלול השלוחה הוא פרבולה (או לפחות מתחקה אחר חלק של פרבולה) אם החלקיק משוגר בצורה כזו שיש בו רכיב תנועה אופקי שאינו מנוזל, ואין עמידות אוויר שתשפיע על החלקיק.

המשוואות הקינמיות

משתני העניין בתנועת החלקיק הם קואורדינטות המיקום שלו איקס ו y, מהירותו v, ותאוצתו אהכל ביחס לזמן שחלף נתון t מאז תחילת הבעיה (כאשר החלקיק משוגר או משוחרר). שימו לב שהשמטת המסה (מ ') מרמזת כי כוח הכבידה בכדור הארץ פועל ללא תלות בכמות זו.

שימו לב גם כי משוואות אלה מתעלמות מתפקידן של התנגדות אוויר, היוצרת כוח גרור המתנגד לתנועה במצבי כדור הארץ האמיתיים. גורם זה מוצג בקורסי מכניקה ברמה גבוהה יותר.

משתנים שניתנים לתכנית "0" מתייחסים לערך הכמות באותה עת t = 0 והם קבועים; לעיתים קרובות, ערך זה הוא 0 בזכות מערכת הקואורדינטות שנבחרה, והמשוואה הופכת לפשוטה בהרבה. יש להתייחס להאצה כאל קבוע בבעיות אלו (ונמצא בכיוון y ושווה ל -ז, או –9.8 מ / ש², האצה כתוצאה מכוח הכבידה ליד פני כדור הארץ).

תנועה אופקית:

x = x₀ + v_איקס t

תנועה אנכית:

דוגמאות לתנועת השלכת

המפתח ליכולת לפתור בעיות הכוללות חישובי מסלול הוא הידיעה שאפשר לנתח את רכיבי התנועה האופקיים (x) והאנכיים (y) בנפרד, כמוצג לעיל, ותרומותיהם בהתאמה לתנועה הכוללת מסוכמים בצורה מסודרת בסוף הבעיה.

בעיות בתנועת השלכת נחשבות כבעיות נפילה חופשית מכיוון שלא משנה איך הדברים נראים מיד אחרי הזמן t = 0, הכוח היחיד הפועל על העצם הנע הוא כוח המשיכה.

חישובי מסלול

1. המגישים המהירים ביותר בבייסבול יכולים לזרוק כדור בקצת מעל 100 מיילים לשעה, או 45 מ '/ ש'. אם כדור נזרק אנכית כלפי מעלה במהירות זו, כמה גבוה הוא יגיע וכמה זמן ייקח לחזור לנקודה בה שוחרר?

פה v_y0 = 45 מטר לשנייה, -ז = –9.8 מ / ש, וכמויות העניין הן הגובה האולטימטיבי, או y, והזמן הכולל חזרה לכדור הארץ. זמן סה"כ הוא חישוב של שני חלקים: זמן עד y והשעה חזרה למטה ל- y₀ = 0. בחלק הראשון של הבעיה, v_y, כאשר הכדור מגיע לשיאו, הוא 0.

התחל על ידי שימוש במשוואה v_y² = v_0y² - 2 גרם (y - y₀) וחיבור הערכים שיש לך:

0 = (45)² - (2) (9.8) (y - 0) = 2,025 - 19.6y

y = 103.3 מ '

המשוואה v_y = v_0y - gt מראה שהזמן t זה לוקח (45 / 9.8) = 4.6 שניות. כדי לקבל זמן כולל, הוסף ערך זה לזמן שלוקח לכדור ליפול בחופשיות לנקודת ההתחלה שלו. זה ניתן על ידי y = y₀ + v_0yt - (1/2) gt² , איפה עכשיו, מכיוון שהכדור עדיין נמצא ברגע שהוא מתחיל לצלול, v_0y = 0.

פיתרון (103.3) = (1/2) gt² עבור t נותן t = 4.59 שניות.

לפיכך הזמן הכולל הוא 4.59 + 4.59 = 9.18 שניות. התוצאה אולי המפתיעה שכל "רגל" בטיול, למעלה ולמטה, לקחה את אותה זמן מדגישה את העובדה שכוח הכבידה הוא הכוח היחיד במשחק כאן.

2. משוואת הטווח: כאשר משוגר גרעין במהירות v₀ וזווית θ מהאופק, יש לו מרכיבים אופקיים ואנכיים ראשוניים של מהירות v_0x = v₀(cos θ) ו- v_0y = v₀(חטא θ).

כי v_y = v_0y - gt, ו v_y = 0 כאשר הטיל מגיע לגובהו המרבי, הזמן לגובה המקסימלי ניתן על ידי t = v_0y/ g. בגלל סימטריה, הזמן שייקח לחזור לאדמה (או y = y₀) הוא פשוט 2t = 2v_0y/ז.

לבסוף, שילוב אלה עם הקשר x = v_0xt, המרחק האופקי שנמצא נתון בזווית שיגור θ הוא

R (טווח) = 2 (v₀²חטא θ ⋅ cos θ / g) = v₀²(sin2θ) / גרם

(השלב ​​האחרון מגיע מהזהות הטריגונומטרית 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)

מכיוון ש- sin2θ הוא בערך המרבי של 1 כאשר θ = 45 מעלות, השימוש בזווית זו ממקסם את המרחק האופקי למהירות נתונה במהירות

R = v₀²/ g.