תוֹכֶן
עם הסופרבול ממש מעבר לפינה, אתלטים ואוהדי העולם מתמקדים היטב במשחק הגדול. אבל עבור _math_letes, המשחק הגדול עשוי להביא לראש קצת בעיה הקשורה לציונים האפשריים במשחק כדורגל. עם אפשרויות מוגבלות בלבד לכמות הנקודות שאתה יכול לצבור, פשוט לא ניתן להגיע לסכומים מסוימים, אבל מה הכי גבוה? אם אתה רוצה לדעת מה מקשר בין מטבעות, כדורגל ונגיסי עוף של מקדונלד, זו בעיה בשבילך.
בעיית המתמטיקה הסופרבול
הבעיה כרוכה בציונים האפשריים שאולי לוס אנג'לס ראמס או הפטריוטים בניו אינגלנד עשויים להשיג ביום ראשון בלי ביטחון או המרה דו-נקודתית. במילים אחרות, הדרכים המותרות להגדיל את הניקוד שלהן הן מטרות שדה של שלוש נקודות ונגיעה של 7 נקודות. לכן, בלי בטיחותיות, אינך יכול להשיג ציון של 2 נקודות במשחק עם שילוב של שלשות ושלוש. באופן דומה, גם אינך יכול להשיג ציון 4 וגם אינך יכול ציון 5.
השאלה היא: מה הציון הגבוה ביותר שיש לא יכול להשיג רק עם מטרות שדה עם שלוש נקודות וטאצ'דאונים עם 7 נקודות?
כמובן, טאצ'דאונים ללא המרה שווים 6, אך מכיוון שתוכלו להגיע לזה עם שני יעדי שטח בכל מקרה, זה לא משנה לבעיה. כמו כן, מכיוון שמדובר כאן במתמטיקה, אינך צריך לדאוג לטקטיקות של הצוות הספציפי או אפילו למגבלות כלשהן ביכולתם לצבור נקודות.
נסה לפתור זאת בעצמך לפני שתמשיך הלאה!
מציאת פיתרון (הדרך האיטית)
לבעיה זו יש כמה פתרונות מתמטיים מורכבים (עיין במשאבים לפרטים מלאים, אך התוצאה העיקרית תובא בהמשך), אך היא דוגמה טובה לכך שהיא אינה צורך למצוא את התשובה.
כל שעליכם לעשות כדי למצוא פיתרון של כוח ברוט הוא פשוט לנסות כל אחד מהציונים בתורם. אז אנחנו יודעים שאתה לא יכול להבקיע 1 או 2, מכיוון שהם פחות מ -3. כבר קבענו ש -4 ו- 5 אינם אפשריים, אך 6 הם עם שני יעדי שטח. אחרי 7 (מה שאפשר), האם אתה יכול לצבור 8? לא. שלושה יעדי שדה נותנים 9, ושער שדה וטאצ'דאון המרה הופכים את 10. אבל אתה לא יכול להשיג 11.
מנקודה זו ואילך, עבודה קטנה מראה כי:
להתחיל {מיושר} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 7 + (3 × 3) & = 16 (7 × 2) + 3 & = 17 סוף {מיושר}ולמעשה, אתה יכול להמשיך כך כל עוד אתה רוצה. נראה שהתשובה היא 11. אבל האם זה?
הפיתרון האלגברי
המתמטיקאים מכנים בעיות אלה "בעיות מטבע Frobenius." הצורה המקורית הקשורה למטבעות, כגון: אם היו לך מטבעות בשווי של 4 סנט ו -11 סנט (לא מטבעות אמיתיים, אבל שוב, זה בעיות מתמטיקה עבורך), מה הגדול ביותר כמות כסף שלא יכולת לייצר.
הפיתרון, מבחינת אלגברה, הוא שעם ניקוד אחד שווה ע נקודות וציון אחד שווה ש נקודות, הציון הגבוה ביותר שאי אפשר להשיג (נ) ניתן ע"י:
N = pq ; - ; (p + q)אז חיבור הערכים מבעיית הסופרבול נותן:
להתחיל {מיושר} N & = 3 × 7 ; - ; (3 + 7) & = 21 ; - ; 10 & = 11 סוף {מיושר}וזו התשובה שקיבלנו בדרך האיטית. אז מה אם היית יכול רק לצבור טאצ'דאונים ללא המרה (6 נקודות) וטאצ'דאונים עם המרות נקודה אחת (7 נקודות)? בדוק אם אתה יכול להשתמש בנוסחה כדי לפתור אותה לפני שתקרא.
במקרה זה הנוסחה הופכת ל:
להתחיל {מיושר} N & = 6 × 7 ; - ; (6 + 7) & = 42 ; - ; 13 & = 29 סוף {מיושר}בעיית מקנוגט
אז המשחק נגמר ואתה רוצה לתגמל את הקבוצה המנצחת עם טיול במקדונלד'ס. אבל הם מוכרים רק את מקנאג'טים בתיבות של 9 או 20. אז מה המספר הגבוה ביותר של הנאג'טים שאתה לא יכול לקנות עם מספרי התיבה (המיושנים) האלה? נסה להשתמש בנוסחה כדי למצוא את התשובה לפני שתמשיך לקרוא.
מאז
N = pq ; - ; (p + q)ועם ע = 9 ו ש = 20:
להתחיל {מיושר} N & = 9 × 20 ; - ; (9 + 20) & = 180 ; - ; 29 & = 151 סוף {מיושר}אז בתנאי שקניתם יותר מ 151 נאגטס - הצוות המנצח כנראה יהיה די רעב, אחרי הכל - תוכלו לקנות כל מספר נאגטס שרציתם עם שילוב קופסאות.
אתה תוהה מדוע כיסינו רק גרסאות דו-ספרתיות לבעיה זו. מה אם שילבנו כספות, או אם מקדונלד'ס מכרה שלושה גדלים של קופסאות נאגט? יש אין נוסחה ברורה במקרה זה, ולמרות שניתן לפתור את מרבית הגרסאות לה, חלק מההיבטים של השאלה אינם פתורים לחלוטין.
אז אולי כשאתה צופה במשחק או אוכל חתיכות עוף בגודל ביס, אתה יכול לטעון שאתה מנסה לפתור בעיה פתוחה במתמטיקה - כדאי לנסות לצאת מהמטלות!