כיצד למצוא משוואה מעריכית עם שתי נקודות

תוֹכֶן

• מדוע פונקציות אקספוננציאליות חשובות
• מזוג נקודות לתרשים
• נקודה אחת בציר ה- X
• אף אחת מהנקודות לא על ציר ה- X
• דוגמא מהעולם האמיתי

אם אתה יודע שתי נקודות הנופלות על עקומה מעריכית מסוימת, אתה יכול להגדיר את העקומה על ידי פתרון הפונקציה האקספוננציאלית הכללית באמצעות נקודות אלה. בפועל משמעות הדבר היא החלפת הנקודות עבור y ו- x במשוואה y = ab^איקס. ההליך קל יותר אם ערך ה- x עבור אחת מהנקודות הוא 0, כלומר הנקודה נמצאת על ציר ה- y. אם לאף אחת מהנקודות אין ערך x אפס, התהליך לפיתרון עבור x ו- y הוא מעט יותר מסובך.

מדוע פונקציות אקספוננציאליות חשובות

מערכות חשובות רבות עוקבות אחר דפוסי אקספוננציאל של צמיחה וריקבון. לדוגמה, מספר החיידקים במושבה בדרך כלל עולה באופן אקספוננציאלי, וקרינת הסביבה באטמוספרה בעקבות אירוע גרעיני בדרך כלל פוחתת באופן אקספוננציאלי. על ידי לקיחת נתונים ועלילת עקומה, מדענים הם במצב טוב יותר לחזות.

מזוג נקודות לתרשים

כל נקודה בתרשים דו ממדי יכולה להיות מיוצגת על ידי שני מספרים, שנכתבים בדרך כלל בצורה (x, y), כאשר x מגדיר את המרחק האופקי מהמקור ו- y מייצג את המרחק האנכי. לדוגמה, הנקודה (2, 3) היא שתי יחידות מימין לציר y ושלוש יחידות מעל ציר ה- x. מצד שני, הנקודה (-2, -3) היא שתי יחידות משמאל לציר ה- Y. ושלוש יחידות מתחת לציר ה- x.

אם יש לך שתי נקודות, (x₁, y₁) ו- (x₂, y₂), באפשרותך להגדיר את הפונקציה האקספוננציאלית העוברת בנקודות אלה על ידי החלפתן במשוואה y = ab^איקס ופתרון עבור a ו- b. באופן כללי, אתה צריך לפתור את זוג המשוואות הזה:

y₁ = ab^x1 ו- y₂ = ab^x2, .

בצורה זו, המתמטיקה נראית מעט מסובכת, אך היא נראית פחות לאחר שעשית כמה דוגמאות.

נקודה אחת בציר ה- X

אם אחד מערכי ה- x - אמור x₁ - הוא 0, הפעולה הופכת להיות מאוד פשוטה. לדוגמה, פתרון המשוואה עבור הנקודות (0, 2) ו- (2, 4) מניב:

2 = ab⁰ ו- 4 = ab². מכיוון שאנו יודעים כי ב⁰ = 1, המשוואה הראשונה הופכת ל 2 = a. החלפת a במשוואה השנייה מניבה 4 = 2b²אשר אנו מפשטים ל b² = 2, או b = שורש ריבועי של 2, שווה לערך 1.41. הפונקציה המגדירה היא אם כן y = 2 (1.41)^איקס.

אף אחת מהנקודות לא על ציר ה- X

אם אף ערך ה- x אינו אפס, פתרון זוג המשוואות מעט מסורבל. Henochmath נותן לנו דוגמה קלה להבהרת הליך זה. בדוגמה שלו הוא בחר בצמד הנקודות (2, 3) ו- (4, 27). זה מניב את זוג המשוואות הבא:

27 = ab⁴

3 = ab²

אם אתה מחלק את המשוואה הראשונה בשניה, אתה מקבל

9 = ב²

אז b = 3. אפשרי ש- b יהיה גם שווה ל -3, אבל במקרה זה, הניח שהוא חיובי.

אתה יכול להחליף ערך זה עבור b בכל אחת מהמשוואות כדי לקבל א. זה קל יותר להשתמש במשוואה השנייה, כך:

3 = a (3)² אשר ניתן לפשט ל -3 = a9, a = 3/9 או 1/3.

ניתן לכתוב את המשוואה העוברת בנקודות אלה y = 1/3 (3)^איקס.

דוגמא מהעולם האמיתי

מאז שנת 1910, צמיחת האוכלוסייה האנושית הייתה אקספוננציאלית, ועל ידי מתווה עקומת צמיחה, מדענים נמצאים במצב טוב יותר לחזות ולתכנן לעתיד. בשנת 1910 אוכלוסיית העולם מנתה 1.75 מיליארד, ובשנת 2010 היא הייתה 6.87 מיליארד. אם לוקחים את שנת 1910 כנקודת המוצא, זה נותן את צמד הנקודות (0, 1.75) ו (100, 6.87). מכיוון שערך ה- x של הנקודה הראשונה הוא אפס, אנו יכולים למצוא בקלות a.

1.75 = ab⁰ או = 1.75. חיבור ערך זה, יחד עם אלה של הנקודה השנייה, למשוואה האקספוננציאלית הכללית מייצר 6.87 = 1.75b¹⁰⁰, שנותן את הערך של b כשורש המאה של 6.87 / 1.75 או 3.93. אז המשוואה הופכת y = 1.75 (שורש המאה של 3.93)^איקס. אף על פי שלקח יותר מכלל שקופיות, מדענים יכולים להשתמש במשוואה זו כדי להקרין מספר אוכלוסין עתידי כדי לעזור לפוליטיקאים בהווה ליצור מדיניות מתאימה.