כיצד לחשב תשתית

תוֹכֶן

• TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)
• זהויות תפקודיות בתארים:
• זהויות של תפקוד ברדיאנים
• הוכחת זהויות קופונקציות
• מחשבון Cofunction

האם תהית אי פעם איך קשורים פונקציות טריגונומטריות כמו סינוס וקוסינוס? שניהם משמשים לחישוב צדדים וזוויות במשולשים, אך הקשר מתקדם מזה. זהויות של פונקציה תן לנו נוסחאות ספציפיות המראות כיצד להמיר בין סינוס לקוסינוס, משיק וקוטנגנט, ובין סנסנט וקוסנט.

TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)

הסינוס של זווית שווה לקוסינוס של השלמתו ולהפך. זה נכון גם לגבי תפקודים אחרים.

דרך קלה לזכור אילו פונקציות הן פונקציות הן ששתי פונקציות טריג הן פונקציות אם לפני אחד מהם יש קידומת "שיתוף". לכן:

אנו יכולים לחשב קדימה ואחורה בין פונקציות באמצעות הגדרה זו: הערך של פונקציה של זווית שווה לערך של פונקצית המשלים.

זה נשמע מסובך, אבל במקום לדבר על הערך של פונקציה באופן כללי מאפשר להשתמש בדוגמה ספציפית. ה סינוס של זווית שווה ל קוסינוס של השלמה שלה. וכך גם לגבי פונקציות אחרות: משיק הזווית שווה לקוטנגנט של השלמתו.

זכרו: שתי זוויות הן משלים אם הם מוסיפים עד 90 מעלות.

זהויות תפקודיות בתארים:

(שימו לב ש- 90 ° - X נותנים לנו השלמת זוויות.)

sin (x) = cos (90 ° - x)

cos (x) = sin (90 ° - x)

שיזוף (x) = מיטת תינוק (90 ° - x)

מיטת תינוק (x) = שיזוף (90 ° - x)

sec (x) = csc (90 ° - x)

csc (x) = שניות (90 ° - x)

זהויות של תפקוד ברדיאנים

זכור שאנחנו יכולים גם לכתוב דברים במונחים של רדיאנים, שהיא יחידת SI למדידת זוויות. תשעים מעלות זהים לרדיאנים π / 2, כך שנוכל גם לכתוב את זהויות התצורה ככה:

sin (x) = cos (π / 2 - x)

cos (x) = sin (π / 2 - x)

שיזוף (x) = מיטת תינוק (π / 2 - x)

מיטת תינוק (x) = שיזוף (π / 2 - x)

sec (x) = csc (π / 2 - x)

csc (x) = שניות (π / 2 - x)

הוכחת זהויות קופונקציות

כל זה נשמע נחמד, אבל איך נוכל להוכיח שזה נכון? בחינת זה בעצמך בכמה משולשים דוגמה יכולה לעזור לך להרגיש בטוחים בזה, אך קיימת גם הוכחה אלגברית קפדנית יותר. מאפשר להוכיח את זהויות התצורה של הסינוס והקוסינוס. התכוונו לעבוד ברדיאנים, אבל זה אותו הדבר כמו שימוש בתארים.

הוכחה: sin (x) = cos (π / 2 - x)

קודם כל, חזרו לזכרכם לנוסחה זו מכיוון שהתכוונו להשתמש בה כהוכחה שלנו:

cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)

הבנתי? בסדר. כעת ניתן להוכיח: sin (x) = cos (π / 2 - x).

אנו יכולים לכתוב מחדש את cos (π / 2 - x) כך:

cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)

cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), מכיוון שאנו מכירים cos (π / 2) = 0 וחטא (π / 2) = 1.

cos (π / 2 - x) = sin (x).

טא-דה! עכשיו בואו להוכיח זאת בעזרת קוסינוס!

הוכחה: cos (x) = sin (π / 2 - x)

פיצוץ נוסף מהעבר: זוכר את הנוסחה הזו?

sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).

עמדו להשתמש בו. כעת ניתן להוכיח: cos (x) = חטא (π / 2 - x).

אנו יכולים לשכתב את החטא (π / 2 - x) כך:

sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)

sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), מכיוון שאנו מכירים את sin (π / 2) = 1 ו- cos (π / 2) = 0.

sin (π / 2 - x) = cos (x).

מחשבון Cofunction

נסה כמה דוגמאות שעובדות עם פונקציות משלך בעצמך. אבל אם אתה נתקע, ב- Math Celebrity יש מחשבון של תשתית שמציג פתרונות שלב אחר שלב לבעיות תשתיות.

חישוב שמח!