כיצד למצוא את הפוך של פונקציה

תוֹכֶן

• TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)
• הגדרת פונקציה הפוכה
• גישה אלגברה לתפקוד הפוך
• פונקציות טריגונומטריות הפוכות
• גרף הפונקציה וההפוך

כדי למצוא פונקציה הפוכה במתמטיקה, תחילה עליך להיות פונקציה. זה יכול להיות כמעט כל מערך פעולות עבור המשתנה העצמאית x שמניב ערך עבור המשתנה התלוי y. באופן כללי, כדי לקבוע את ההיפוך של פונקציה של x, החלף את y עבור x ו- x עבור y בפונקציה, ואז פותר עבור x.

TL; DR (יותר מדי זמן; לא קרא)

באופן כללי, כדי למצוא את ההיפוך של פונקציה של x, החלף את y עבור x ו- x עבור y בפונקציה, ואז פותר עבור x.

הגדרת פונקציה הפוכה

ההגדרה המתמטית של פונקציה היא יחס (x, y) אשר קיים רק ערך אחד של y עבור כל ערך של x. לדוגמא, כאשר הערך של x הוא 3, הקשר הוא פונקציה אם ל- y יש רק ערך אחד, כמו 10. ההיפוך של פונקציה לוקח את ערכי y של הפונקציה המקורית כערכי x משלה, ומייצר ערכי y שהם ערכי ה- x של הפונקציה. לדוגמה, אם הפונקציה המקורית החזירה את ערכי y 1, 3 ו- 10 כאשר משתנה ה- x שלה היה בערכים 0, 1 ו- 2, הפונקציה ההפוכה הייתה מחזירה את ערכי y 0, 1 ו- 2 כאשר משתנה ה- x שלה היה הערכים 1, 3 ו 10. בעיקרו של דבר, פונקציה הפוכה מחליפה את ערכי x ו- y של המקור. בשפה מתמטית, אם הפונקציה המקורית היא f (x) וההיפוך הוא g (x), אז g (f (x)) = x.

גישה אלגברה לתפקוד הפוך

כדי למצוא את ההיפוך של פונקציה הכוללת את שני המשתנים, x ו- y, החלף את מונחי x ב- y ואת מונחי y ב- x, ופתרנו עבור x. כדוגמה, קחו את המשוואה הליניארית, y = 7x - 15.

y = 7x - 15 פונקציה מקורית
x = 7y - 15 החלף את y ב- x ו- x ב- y.
x + 15 = 7y - 15 + 15 הוסף 15 לשני הצדדים.
x + 15 = 7y לפשט
(x + 15) / 7 = 7y / 7 חלק את שני הצדדים ב- 7.
(x + 15) / 7 = y פשט

הפונקציה, (x + 15) / 7 = y היא ההיפוכה של המקור.

פונקציות טריגונומטריות הפוכות

כדי למצוא את ההיפוך של פונקציה טריגונומטרית, כדאי לדעת על כל פונקציות הטריג וההיפוכים שלהם. לדוגמה, אם אתה רוצה למצוא את ההיפוך של y = sin (x), אתה צריך לדעת שההיפך של פונקציית הסינוס הוא פונקציית הארקסין; שום אלגברה פשוטה לא תביא אותך לשם ללא ארקסין (x). לפונקציות הטריג האחרות, קוסינוס, משיק, קוסצנטנט, סנסנט וקוטנגנט, יש את הפונקציות ההפוכות ארכוסין, ארקטנגנט, ארקוסנטנט, ארקצנטנט וארקוטנגנט, בהתאמה. לדוגמה, ההיפך של y = cos (x) הוא y = ארקוס (x).

גרף הפונקציה וההפוך

הגרף של פונקציה וההיפוך שלה מעניין. כשאתה מתווה את שני העקומות ואז צייר קו המתאים לפונקציה, y = x, תבחין שהקו מופיע כ"מראה ". כל עקומה או שורה מתחת ל- y = x" משתקפים "באופן סימטרי מעליו. זה נכון לכל פונקציה, בין אם פולינום, טריגונומטרי, אקספוננציאלי או ליניארי. באמצעות עיקרון זה, תוכלו להמחיש באופן גרפי את ההיפוך של פונקציה על ידי גרף את הפונקציה המקורית, לצייר את הקו ב- y = x, ואז לצייר את הקימורים או הקווים הדרושים ליצירת “תמונת מראה” שיש בה y = x כציר של סימטריה.