תוֹכֶן
מעגלים נמצאים בכל מקום בעולם האמיתי, וזו הסיבה שהרדיוסים, הקוטרים וההיקפים שלהם משמעותיים ביישומים בחיים האמיתיים. אך ישנם חלקים אחרים של מעגלים - למשל מגזרים וזוויות - אשר יש להם חשיבות גם ביישומים יומיומיים. דוגמאות לכך כוללות מידות מגזריות של אוכל מעגלי כמו עוגות ועוגות, הזווית הנסוגה בגלגל פריס, מידת הצמיג לרכב מסוים ובמיוחד גודל הטבעת לאירוסין או חתונה. מסיבות אלה ועוד, יש לגיאומטריה גם משוואות וחישובי בעיות העוסקים בזוויות מרכזיות, קשתות וסקטורים של מעגל.
מה הזווית המרכזית?
הזווית המרכזית מוגדרת כזווית הנוצרת על ידי שני קרניים או רדיוסים הקורנים ממרכז המעגל, כאשר מרכז המעגל הוא קודקוד הזווית המרכזית. זוויות מרכזיות רלוונטיות במיוחד כשמדובר בחלוקה אחידה של פיצה, או כל אוכל אחר מבוסס מעגלי, בין מספר מוגדר של אנשים. נניח שיש חמישה אנשים בסוכת סוויטות בה יש לחלוק פיצה גדולה ועוגה גדולה. מה הזווית שיש לחלק בין הפיצה וגם העוגה בכדי להבטיח נתח שווה לכולם? מכיוון שיש 360 מעלות במעגל, החישוב הופך ל -360 מעלות מחולק ב -5 כדי להגיע ל 72 מעלות, כך שלכל פרוסה, בין אם מהפיצה או מהעוגה, תהיה זווית מרכזית, או תטא (θ), במידות 72 מעלות.
קביעת הזווית המרכזית מאורך הקשת
קשת המעגל מתייחסת ל"חלק "מהיקף המעגל. אורך הקשת הוא אפוא האורך של אותו "חלק". אם אתה מדמיין פרוסת פיצה, ניתן לדמיין את אזור הגזרה כפרוסת הפיצה כולה, אך אורך הקשת הוא אורך הקצה החיצוני של הקרום עבור אותו פרט. פרוסה. מאורך הקשת ניתן לחשב את הזווית המרכזית. אכן נוסחה אחת שיכולה לעזור בקביעת הזווית המרכזית קובעת כי אורך הקשת (ים) שווה לרדיוס כפול הזווית המרכזית, או s = r × θ, שם יש למדוד את הזווית, תטא, ברדיאנים. אז כדי לפתור עבור הזווית המרכזית, תטא, צריך רק לחלק את אורך הקשת ברדיוס, או s ÷ r = θ. לשם המחשה, אם אורך הקשת הוא 5.9 והרדיוס הוא 3.5329, הזווית המרכזית הופכת להיות 1.67 רדיאנים. דוגמא נוספת היא אם אורך הקשת הוא 2 והרדיוס הוא 2, הזווית המרכזית הופכת להיות רדיאן 1. אם ברצונך להמיר רדיאנים למעלות, זכור כי רדיאן 1 שווה ל 180 מעלות חלקי π, או 57.2958 מעלות. לעומת זאת, אם משוואה מבקשת להמיר מעלות לרדיאנים, אז הכפילו תחילה ב π ואז חלקו ב 180 מעלות.
קביעת הזווית המרכזית מאזור המגזר
נוסחה שימושית נוספת לקביעת זווית מרכזית מסופקת על ידי אזור המגזר, שניתן שוב לדמיין אותו כפרוסת פיצה. ניתן לראות את הנוסחה הספציפית בשתי דרכים. לראשון יש את הזווית המרכזית שנמדדת במעלות כך שאזור הגזרה שווה π פי ריבוע הרדיוס ואז מוכפל בכמות הזווית המרכזית במעלות המחולקת 360 מעלות. במילים אחרות:
(πr2) × (זווית מרכזית מעלות ÷ 360 מעלות) = שטח מגזר.
אם הזווית המרכזית נמדדת ברדיאנים, הנוסחה במקום זאת הופכת:
אזור מגזר = r2 × (זווית מרכזית ברדיאנים ÷ 2).
ארגון מחדש של הנוסחאות יעזור לפתור עבור הערך של הזווית המרכזית, או התטא. קחו למשל אזור מגזר של 52.3 סנטימטרים רבועים ברדיוס של 10 סנטימטרים. מה תהיה הזווית המרכזית שלו במעלות? החישובים יתחילו בכך ששטח מגזר של 52.3 סנטימטרים רבועים שווה ל:
(θ ÷ 360 מעלות) × πr2.
מכיוון שהרדיוס (r) שווה ל 10, ניתן לכתוב את המשוואה כולה:
(52.3 ÷ 100π) × 360
כך שניתן לכתוב את התטא כ:
(52.3 ÷ 314) × 360.
כך התשובה הסופית הופכת לזווית מרכזית של 60 מעלות.